不同模型燃?xì)夤艿绖討B(tài)模擬的對比分析

摘 要

摘要：介紹了燃?xì)夤艿滥M的基本方程，分析了目前常用于燃?xì)夤艿绖討B(tài)模擬的數(shù)學(xué)模型及各自特點(diǎn)，通過計算實例分析了等溫模型與不等溫模型動態(tài)模擬結(jié)果的誤差。關(guān)鍵詞：燃?xì)夤艿?；不穩(wěn)
摘要：介紹了燃?xì)夤艿滥M的基本方程，分析了目前常用于燃?xì)夤艿绖討B(tài)模擬的數(shù)學(xué)模型及各自特點(diǎn)，通過計算實例分析了等溫模型與不等溫模型動態(tài)模擬結(jié)果的誤差。
關(guān)鍵詞：燃?xì)夤艿?；不穩(wěn)定流動；動態(tài)模擬；等溫模型；不等溫模型
Comparative Analysis on Dynamic Simulation of Gas Pipeline by Different Models
LI Jun，YU Jian-jun
Abstract：The basic equations of gas pipeline simulation are introduced. The recently frequent mathematical models for dynamic simulation of gas pipeline and their respective characteristics are analyzed. The error of dynamic simulation results between isothermal model and non-isothermal model is analyzed by calculating examples.
Key words：gas pipeline；unstable flow；dynamic simulation；isothermal model；non-isothermal model
1 燃?xì)夤艿滥M的基本方程
    燃?xì)庠诠艿乐械牧鲃邮遣环€(wěn)定流動，并且可看成一元流動，流體的壓力、密度、速度等參數(shù)是時間和管道長度的函數(shù)。以管道軸線方向為戈坐標(biāo)，垂直于管道軸線為z坐標(biāo)，可根據(jù)流體力學(xué)知識建立燃?xì)庠诠艿纼?nèi)流動的3個方程，具體如下[1]：
動量方程：
 
式中p——燃?xì)獾慕^對壓力，Pa
    x——管道中任一斷面到首端的長度，m
    ρ——燃?xì)獾拿芏龋琸g/m3
    v——燃?xì)獾牧魉?，m/s
    t——時間，s
    g——重力加速度，m/s2
    θ——燃?xì)夤艿琅c水平面間的夾角，rad
    λ——摩擦阻力系數(shù)
    D——燃?xì)夤艿赖膬?nèi)徑，m
   連續(xù)性方程：
   
    能量方程：
   
式中Q——單位質(zhì)量燃?xì)庀蛲饨绶懦龅臒崃?，J/kg
    u——燃?xì)獾谋葻崃W(xué)能，J/kg
    z——管道中任一斷面到首端的相對高度，m
    h——燃?xì)獾谋褥?，J/kg
    將上述3個方程、氣體狀態(tài)方程、特定的初始條件和邊界條件聯(lián)立方程組，理論上可以求解燃?xì)夤艿廊我晃恢?、任一時刻的壓力、密度、流速、溫度等參數(shù)。但是由于這是一組非線性偏微分方程組，很難求其精確的解析解。目前常求得的解析解都是在特定的條件下對模型簡化后得到的，因此，不具有普遍適用性。
2 管道動態(tài)模擬常用的模型[1～7]
2.1 模型1
對于城市燃?xì)廨斉湎到y(tǒng)，多數(shù)情況下，管道內(nèi)燃?xì)獾牧鲃涌梢哉J(rèn)為是等溫流動，即燃?xì)鉁囟炔浑S時間和空間而變化，且等于管道周圍土壤的溫度，從而可以忽略能量方程(3)；另外，動量方程中的慣性項和對流項在大多數(shù)情況下可以忽略不計，即：
 
    當(dāng)標(biāo)高的差值不太大時，重力項一般也可以忽略，即：
    ρgsinθ=0    (6)
    因此，可將基本方程(1)、(2)、(3)變換成如下的簡化方程：
    動量方程：
   
連續(xù)性方程：
 
式中c——聲速，m/s
   將式(7)、(8)化簡和合并后變成如下形式：
   
式中A——管道流通面積，m2
   這是一個非線性拋物型方程，也是目前城市燃?xì)夤艿绖討B(tài)模擬中使用較廣泛的一個模型(以下簡稱模型1)，可以用線性化的方法求得解析解。
2.2 模型2
    如果單位時間內(nèi)輸氣量的波動較大，就需要考慮動量方程中的慣性項，上述式(7)、(8)就變成如下形式：
動量方程：
 
連續(xù)性方程：
 
    這是一個擬線性一階雙曲型方程組(以下簡稱模型2)，通常可以采用有限差分法進(jìn)行求解。
2.3 模型3
在短的輸氣管道和摩擦阻力非常小的情況下可以不計摩擦阻力引起的壓力損失，即：
 
在這種情況下，式(11)變成如下形式：
 
聯(lián)立方程(12)、(14)，經(jīng)過變換可得：
 
    這是一個線性二階雙曲型方程，即著名的波動方程(以下簡稱模型3)，可以采用D’Alembert法進(jìn)行求解。
2.4 模型4
    上述3個模型在很多假設(shè)條件下得到，不具有普遍適用性。目前適用較普遍的等溫模型如下：
動量方程：
 
連續(xù)性方程：
 
    此模型只忽略了動量方程(1)中的對流項，即滿足方程(5)，而對流項只在燃?xì)饬魉贅O大(接近聲速)時才有意義，因此，該模型也是目前在等溫條件下管道動態(tài)模擬精度較高的一種模型(以下簡稱模型4)，用特征線法求解比較方便。
2.5 模型5——不等溫模型
    上述模型1、2、3、4都沒有考慮能量方程，即沒有考慮氣體溫度變化的影響。
    根據(jù)熱力學(xué)相關(guān)知識，并引入質(zhì)量流量l
    qm=ρvA    (18)
式中qm——氣體的質(zhì)量流量，kg/s
    將式(18)代入式(1)、(2)、(3)，經(jīng)變換后可得：
    動量方程：
   
連續(xù)性方程：
 
能量方程：
 
式中K——管道的總傳熱系數(shù)，W/(m2·K)
    T——管道內(nèi)燃?xì)獾臏囟?，K
    To——管道埋深處土壤溫度，K
    此模型沒有忽略基本方程(1)、(2)、(3)中的任何項，是目前所有用于燃?xì)夤艿绖討B(tài)模擬的模型中精度最高的一種(以下簡稱模型5)，可以采用特征線法和直接差分法進(jìn)行數(shù)值求解。
3 不同模型的計算結(jié)果比較
    本文針對后2種精度較高的模型(模型4和模型5)的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。研究的算例如下：某長輸燃?xì)夤艿篱L度L為100km，管道內(nèi)徑為0.6m，管道入口絕對壓力為4MPa；管材為鋼管，其當(dāng)量絕對粗糙度為0.046mm；管道首端燃?xì)鉁囟葹?88K，管道埋深處的土壤溫度為288K；燃?xì)鈿庠礊槲鳉鈻|輸天然氣。試分析管道首端流量、終端壓力、終端溫度隨時間的變化情況。
初始條件：初始時刻(t=0)管道終端(x=L)流量qv(L，0)=50m3/s。邊界條件：管道首端(x=0)壓力p(0，t)=4MPa。管道終端流量隨時間變化函數(shù)qv(L，t)=f(t)，具體見圖1。
 

    本算例在以下兩種情況下進(jìn)行分析：
    ① 等溫流動。管道溫度與土壤溫度同時保持288K不變，采用模型4進(jìn)行分析。
    ② 不等溫流動。假設(shè)首端管道溫度與土壤溫度同時保持288K不變，總傳熱系數(shù)為1.2W/(m2·K)，采用模型5進(jìn)行分析。
根據(jù)以上兩種情況分別編制計算程序，兩種情況下的模型輸出結(jié)果如下：管道首端流量隨時間的變化曲線見圖2，管道終端壓力隨時間的變化曲線見圖3，管道終端溫度隨時間的變化曲線見圖4。
 

    從不等溫模型模擬結(jié)果可以看出，管道終端溫度隨時間的變化較為劇烈，這是因為燃?xì)庠诠艿乐辛鲃訒r，其溫度、流量、壓力相互關(guān)聯(lián)、相互影響，即受焦耳-湯姆遜效應(yīng)的影響，在流量隨時間變化較大時，壓力變化較大，溫度的變化也較劇烈，溫度隨流量的增大而降低，隨壓力的增大而升高。
定義絕對誤差的計算式為：
   △t=|Iim,t-Iequ,t|    (22)
   △max=max｛△1，△2，△3，…，△t，…｝   (23)
   △mean=mean｛△1，△2，△3，…，△t，…｝    (24)
式中△t——t時刻的絕對誤差
Iim,t——t時刻不等溫模型模擬值(流量、壓力、溫度等)
Iequ,t——t時刻等溫模型模擬值(流量、壓力、溫度等)
△max——最大絕對誤差
max——最大值函數(shù)
△mean——平均絕對誤差
mean——平均值函數(shù)
定義相對誤差的計算式為：
 
式中δt——t時刻的相對誤差
    δmax——最大相對誤差
    δmean——平均相對誤差
   不等溫模型與等溫模型模擬結(jié)果的誤差比較見表1、2。
表1 不等溫模型與等溫模型模擬結(jié)果的絕對誤差
項目
最大絕對誤差△max
平均絕對誤差△mean
首端流量/(m3·s-1)
2.97
0.97
終端壓力/MPa
0.09
0.03
終端溫度/K
12.09
4.67
表2 不等溫模型與等溫模型模擬結(jié)果的相對誤差
項    目
最大相對誤差δmax /%
平均相對誤差δmean /%
首端流量
7.75
1.68
終端壓力
4.95
1.30
終端溫度
4.38
1.65
4 結(jié)論
   ① 等溫模型與不等溫模型輸出結(jié)果存在著1.68%以下的平均相對誤差，這能滿足一般工程設(shè)計的精度要求(相對誤差小于5%)。
    ② 等溫模型與不等溫模型的最大相對誤差為7.75%，特別是溫度的最大絕對誤差達(dá)到12.09K，這說明對模擬精度要求較高的工作，管道的動態(tài)模擬計算不能忽略溫度對結(jié)果的影響。
    ③ 本算例是在管道首端溫度與環(huán)境溫度相同的情況下進(jìn)行模擬的，如果初始溫度不同，溫度對模擬結(jié)果的影響可能會更大。
    ④ 目前用于燃?xì)夤艿绖討B(tài)模擬的模型較多，但各種模型都是根據(jù)一定的條件，由流體在管道內(nèi)流動的基本方程式經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)簡化后推導(dǎo)得到的。因此，模型也有不同的適用范圍，在具體使用時，不僅要考慮模型求解的簡易性，也要考慮模擬精度對結(jié)果的影響。
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(本文作者：李軍 玉建軍 天津城市建設(shè)學(xué)院 能源與機(jī)械工程系 天津 300384)